Приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов 

Илья Владимирович Бойков, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Павел Владимирович Айкашев, аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math@pnzgu.ru 

517.392 

DOI

10.21685/2072-3040-2021-1-6 

Актуальность и цели. Гиперсингулярные интегралы в настоящее время находят все больше областей применения – аэродинамика, теория упругости, электродинамика и геофизика. При этом их вычисление в аналитическом виде возможно лишь в весьма частных случаях. Поэтому приближенные методы вычисления гиперсингулярных интегралов являются актуальной задачей вычислительной математики. Этой задаче посвящено много работ. Еще большее число работ посвящено приближенным методам вычисления сингулярных интегралов. Исследования приближенных методов вычисления сингулярных интегралов начаты значительно раньше, чем аналогичные исследования гиперсингулярных интегралов. И в этом направлении получены результаты, не имеющие аналогов для гиперсингулярных интегралов. Представляет значительный интерес распространение методов вычисления сингулярных интегралов на гиперсингулярные интегралы, основанное на связи между некоторыми классами сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Этой задаче посвящена данная работа.
Материалы и методы. Построение квадратурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов основано на методах конструктивной теории функций и теории сингулярных и гиперсингулярных интегралов.
Результаты. Предложен метод построения квадратурных формул вычисления гиперсингулярных интегралов, основанный на трансформации квадратурных формул вычисления сингулярных интегралов. Построены квадратурные формулы вычисления нескольких классов гиперсингулярных и полигиперсингулярных интегралов. Получены оценки погрешности построенных квадратурных формул.
Выводы. Построенные методы позволяют эффективно вычислять гиперсингулярные интегралы при решении прикладных задач. 

Ключевые слова

квадратурные формулы, кубатурные формулы, гиперсингулярные интегралы 

 Скачать статью в формате PDF

1. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев : Наукова думка, 1968. 288 с.
2. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. 1. Сингулярные интегралы. Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. 360 с.
3. Бойков И. В. Приближенные методы вычисления сингулярных и гиперсингулярных интегралов. Ч. 2. Гиперсингулярные интегралы. Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. 250 с.
4. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ : ЮМИ, 2011.
5. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. : Янус, 1995. 520 с.
6. Вайникко Г. М., Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения. М. : Янус-К, 2001. 508 с.
7. Kutt H. R. The numerical evaluation of principal value integrals by finite-part integration // Numerical Mathematics. 1975. Vol. 24. P. 205–210.
8. Paget D. F. The numerical evaluation of Hadamard finite-part integrals // Numerical Mathematics. 1981. Vol. 36. P. 447–453.
9. Ioakimidis M. I. A direct method for the construction of Gaussian quadrature rules for Cauchy type and finite-type integrals // Anal. Numer. Theor. Approx. 1983. Vol. 12. P. 131–140.
10. Bialecki B. A sine quadrature rule for Hadamard finite-part integrals // Numerical Mathematics. 1990. Vol. 57. P. 263–269.
11. Lutz E., Gray L. J., Ingraffea A. R. An overview of integration methods for hypersingular integrals // Boundary Elements. 1991. Vol. 13. P. 913–925.
12. Monegato G. On the weights of certain quadratures for the numerical evaluation of Cauchy principal value integrals and their derivatives // Numer. Math. 1987. Vol. 50. P. 273–281.
13. Monegato G. Numerical evaluation of hypersigular integrals // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1994. Vol. 50. P. 9–31.
14. Monegato G. The numerical evaluation of 2-D Caucty principal value integral arising in boundary integral equation methods // Math. Comp. 1994. Vol. 64. P. 765–777.
15. Diethelm K. Gaussian quadrature formulae of the third kind for Cauchy principal value integrals: Basic propertics and error estimates // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1995. Vol. 65. P. 97–114.
16. Crisculo G. A new algorithm for Cauchy principal value and Hadamard-type finite integrals // Journal of Computational and Applied Mathematics. 1997. Vol. 78. P. 255–275.
17. Korsunsky A. M. Gauss-Chebyshev quadrature formulae for strongly singular integrals // Quart. Appl. Math. 1998. Vol. 56. P. 461–472.
18. Boykov I. V. Numerical methods of computation of singular and hypersingular integrals // J. Math. Math. Sci. 2001. Vol. 28. P. 127–179.
19. Boykov I. V., Boykova A. I., Ventsel E. S. Fundamental solutions for thick sandwich plates // Engineering Analisis and Boundary Elements. 2004. Vol. 28. P. 1437–1444.
20. Саакян А. В. Решение задачи для краевой трещины с гиперсингулярным определяющим уравнением методом механических квадратур // Известия Национальной Академии Наук Армении. Механика. 2020. Т. 73, № 2. С. 44–57.
21. Саакян А. В. Квадратурная формула для гиперсингулярного интеграла, содержащего весовую функцию многочленов Якоби с комплексными показателями // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2020. № 2. С. 94–100.
22. Hadamard J. Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential Equations. New Haven : Yale Univ. Press., 1923.
23. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М. : Наука, 1978. 351 с.
24. Чикин Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений // Ученые записки Казанского государственного университета. 1953. Т. 113, кн. 10. С. 57–105.
25. Бойков И. В., Добрынина Н. Ф., Домнин Л. Н. Приближенные методы вычисления интегралов Адамара и решения гиперсингулярных интегральных уравнений. Пенза : Изд-во ПензГТУ, 1996. 188 с.
26. Kolm P., Rokhlin V. Numerical quadratures for singular and hypersingular integrals // Computers and Mathematics with Applications. 2001. Vol 41. P. 327–352.
27. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. Accuracy optimal methods for evaluating hypersingular integrals // Applied Numerical. 2009. Vol. 59, № 6. P. 1366–1385.
28. Kaya A. C., Erdogan E. On the solution of integral equations with strongly singular kernels // Quatery of applied mathematics. 1987. Vol. 45, № 1. P. 105–122.
29. Linkov A. M., Mogilevskaya S. G. Finite part integrals in problems of threedimensional cracks // Prikl. Mat. Mekh. 1986. Vol. 50. P. 844–850.
30. Hui C. Y., Shia D. Evaluations of hypersingular integrals using Gaussian quadrature // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 1999. Vol. 44. P. 205–214.
31. Du Q. K. Evaluations of certain hypersingular integrals on interval // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 2001. Vol. 51. P. 1195–1210.
32. Choi U. J., Kim S. W., Yun B. Improvement of the asymptotic behaviour of the Euler–Maclaurin formula for Cauchy principal value and Hadamard finite-part integrals // Internat. J. Numer. Methods Engrg. 2004. Vol. 61. P. 496–513.
33. Boykov I. V., Ventsel E. S., Boykova A. I. An approximate solution of hypersingular integral equations // Anal. Boundary Elements. 2006. Vol. 30. P. 799–807.
34. Hildenbrand J., Kuhn G. Numerical computation of hypersingular integrals and application to the boundary integral equation for the stress tensor // Anal. Boundary Elements. 1992. Vol. 10. P. 209–217.
35. Chan Y.-S., Fannjiang A., Paulino G. H. Integral equations with hypersingular kernelstheory and applications to fracture mechanics // International Journal of Engineering Science. 2003. Vol. 41. P. 683–720.
36. Korsunsky A. M. On the use of interpolative quadratures for hypersingular integrals in fracture mechanics // Procceding of the Royal Society. A. Mathematical, physical and engineering sciences. 2002. Vol. 458. P. 2721–2733.
37. Kazuhiro O., Nao-Aki N. An Iterative Algorithm of Hypersingular Integral Equations for Crack Problems N // Key Engineering Materials. Vols. 2008. P. 793–796.
38. Obaiys S. J., Ibrahim. R. W., Ahmad A. F. Hypersingular Integrals in Integral Equations and Inequalities: FundamentalReview Study // Differential and Integral Inequalities. Ed.: Dorin Andrica Themistocles. M. : Rassias. Springer, 2019. P. 687–717.
39. Плиева Л. Ю. Квадратурные формулы интерполяционного типа для гиперсингулярных интегралов на отрезке интегрирования // Сибирский журнал вычислительной математики. 2016. Т. 19, № 4. С. 419–428.
40. Бойков И. В., Захарова Ю. Ф., Гринченков Г. И., Семов М. А. Ненасыщаемые кубатурные формулы вычисления гиперсингулярных интегралов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2013. № 3. С. 5 – 25.
41. Бойков И. В., Семов М. А. Об одном методе вычисления гиперсингулярных интегралов // Известия вузов. 2016. № 3. С. 3–17.
42. Солиев Ю. С. К приближенному вычислению гиперсингулярного интеграла по действительной оси // Современные проблемы теории функций и их приложения : материалы 19-й Междунар. Саратовской зимней школы, посвящ. 90-летию акад. П. Л. Ульянова. Саратов : Научная книга , 2018. С. 297–299.
43. Бойков И. В., Айкашев П. В., Бойкова А. И. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений на числовой оси // Журнал Средневолжского математического общества. 2020. Т. 22, № 4. С. 405–423.
44. Wu J. M. ., Yu D. H. The approximate computation of hypersingular integrals on interval Chines // J. Numer. Math. Appl. 1999. Vol. 21. P. 25–33.
45. Zhang D. H., Yu X., Wu J. Superconvergence of the composite Simpson’s rule for a certain finite-part integral and its applications // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2009. Vol. 223, iss. 2. P. 598–613.
46. Hu C., He X., Lu T. Euler-Maclaurin expansions and approximations of hypersingular integrals // Discrete Continuous Dynamical Systems. 2015. Vol. 20, iss. 5. P. 1355–1375.
47. Лифанов И. К. Численное решение сингулярных интегральных уравнений Гильберта с сильной особенностью // Оптимальные методы вычислений и их применение : межвуз. сб. науч. тр. Вып. 7. Пенза : Пенз. политехн. ин-т, 1985. С. 38–45.
48. Гандель Ю. В., Еременко С. В., Полякова Т. С. Математические вопросы метода дискретных токов. Харьков : Изд-во Харьков. гос. ун-та, 1992. Ч. 2. 145 с.
49. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М. : Мир, 1965. Т. 1. 615 с.
50. Gaier D. Konstruktive Methoden der Konformen Abbildung. Berlin : Heidelberd : Springer, 1964. 294 p.